অধ্যায় ১: বাস্তব সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা, ল.সা.গু ও গ.সা.গু | বিসিএস ও চাকরির গাণিতিক যুক্তি

বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় বাস্তব সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতার নিয়ম এবং ল.সা.গু ও গ.সা.গু থেকে প্রতি বছর কমপক্ষে ২ থেকে ৩টি প্রশ্ন নিশ্চিত থাকে। এই অধ্যায়টি পুরো গণিতের মূল ভিত্তি।

১. বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Real Numbers)

সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে একত্রে বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers – R) বলে।

ক. মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers):

যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ p/q আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে q ≠ ০) তাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

• সকল পূর্ণসংখ্যা (… -২, -১, ০, ১, ২, ৩ …) মূলদ সংখ্যা।
• সকল সাধারণ ভগ্নাংশ ও সসীম দশমিক (যেমন: ০.৫, ২.৭৫) মূলদ সংখ্যা।
• আবৃত দশমিক বা পৌনঃপুনিক সংখ্যা মূলদ সংখ্যা (যেমন: ০.৩̇ = ১/৩, ০.১৮̇ = ২/১১)।
• পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা (যেমন: √৪ = ২, √৯ = ৩, √১৬ = ৪)।

খ. অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers):

যে সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।

• অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যা অমূলদ (যে দশমিকে সংখ্যার কোনো পৌনঃপুনিক পুনরাবৃত্তি হয় না)।
• পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা (যেমন: √২, √৩, √৫, √৭, √১১, √১২)।
• গাণিতিক ধ্রুবক π (পাই) এবং e অমূলদ সংখ্যা (তবে এর আসন্ন ভগ্নাংশ মান ২২/৭ একটি মূলদ সংখ্যা)।

১. রুটের ভিতরের সংখ্যাটি কি পূর্ণবর্গ? হ্যাঁ হলে -> মূলদ (যেমন √২৫ = ৫)।

২. রুটের ভিতরের সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ না হলে -> অমূলদ (যেমন √৭, √৮)।

৩. পৌনঃপুনিক থাকলে -> মূলদ; অসীম পর্যন্ত এলোমেলো সংখ্যা চললে -> অমূলদ।

২. মৌলিক সংখ্যা ও নির্ণয়ের কৌশল (Prime Numbers)

১ অপেক্ষা বৃহত্তর যে সকল সংখ্যার ১ এবং ওই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক বা উৎপাদক থাকে না, সেগুলোকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মনে রাখার মেমোরি কোড:

গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক তথ্য:

• সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা: ২ (একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা)।
• ১ সংখ্যাটি: মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয় (এটি একটি স্বতন্ত্র সংখ্যা)।
• ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা: ১৫টি।
• ৫০ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা: ১০টি।
• ১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা: ২১টি।

—

৩. বিভাজ্যতার সহজ নিয়মাবলি (Divisibility Rules)

• ২ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ অঙ্কটি জোড় (০, ২, ৪, ৬, ৮) হলে।
• ৩ দ্বারা বিভাজ্য: সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে।
• ৪ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ দুটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে বা শেষে দুটি শূন্য (০০) থাকলে।
• ৫ দ্বারা বিভাজ্য: শেষ অঙ্কটি ০ বা ৫ হলে।
• ৯ দ্বারা বিভাজ্য: অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে।
• ১১ দ্বারা বিভাজ্য: বিজোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল এবং জোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফলের পার্থক্য ০ বা ১১-এর গুণিতক হলে।

—

৪. ল.সা.গু ও গ.সা.গু (LCM & GCD)

• গ.সা.গু (Greatest Common Divisor): সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি।
• ল.সা.গু (Least Common Multiple): সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি।

মৌলিক সূত্রাবলি:

১. দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু × সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু
২. ভগ্নাংশের গ.সা.গু:

লব (উপরে):   লবগুলোর গ.সা.গু
গ.সা.গু  =  ────────────────────────────
        হর (নিচে):   হরগুলোর ল.সা.গু

৩. ভগ্নাংশের ল.সা.গু:

লব (উপরে):   লবগুলোর ল.সা.গু
ল.সা.গু  =  ────────────────────────────
        হর (নিচে):   হরগুলোর গ.সা.গু

বিগত ১০ম থেকে ৫০তম বিসিএস-এর গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান

অঙ্ক ১: মৌলিক সংখ্যা সংক্রান্ত

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা? [২৯তম ও ৪৩তম বিসিএস]

(ক) ৯১ (খ) ১৪৩ (গ) ৪৭ (ঘ) ৮৭

বিশ্লেষণ ও সমাধান:

• ৯১ = ৭ × ১৩ (মৌলিক নয়)
• ১৪৩ = ১১ × ১৩ (মৌলিক নয়)
• ৮৭ = ৩ × ২৯ (মৌলিক নয়)
• ৪৭ সংখ্যাটিকে ১ এবং ৪৭ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না।

✓ সঠিক উত্তর: (গ) ৪৭

অঙ্ক ২: ল.সা.গু ও গ.সা.গু সূত্রের প্রয়োগ

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১১ এবং ল.সা.গু ৭,৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? [২৮তম ও ৪২তম বিসিএস]

ধাপভিত্তিক সমাধান:
আমরা জানি:
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
বা, একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ১১ × ৭,৭০০

মান বসিয়ে পাই:

লব (উপরে):   ১১ × ৭,৭০০
অপর সংখ্যা  =  ──────────────────────────
              হর (নিচে):       ২৭৫

কাটাকাটি ধাপ:

• ১১ দিয়ে ২৭৫-কে কাটলে হর হয় ২৫ (কারণ ২৭৫ ÷ ১১ = ২৫)।
• এরপর ৭,৭০০-কে ২৫ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় ৩০৮ (কারণ ৭,৭০০ ÷ ২৫ = ৩০৮)।

✓ নির্ণেয় অপর সংখ্যা = ৩০৮

অঙ্ক ৩: ঘণ্টার একত্রে বাজার সময় নির্ণয় (ল.সা.গু)

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮ ও ১০ সেকেন্ড পরপর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে? [২৭তম ও ৪১তম বিসিএস]

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজার সময় হবে সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
৩, ৫, ৭, ৮, ১০-এর ল.সা.গু নির্ণয়:

• মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ: ল.সা.গু = ৮৪০ সেকেন্ড।
• মিনিটে রূপান্তর: ৮৪০ ÷ ৬০ = ১৪ মিনিট।

✓ উত্তর: ১৪ মিনিট পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

একনজরে কুইক রিভিশন সামারি

• পূর্ণবর্গ সংখ্যার রুট মূলদ; বাকি সব রুট অমূলদ।
• ১ মৌলিক সংখ্যা নয়; ক্ষুদ্রতম ও একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হলো ২।
• ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি (কোড: ৪৪-২২-৩২২-৩২১)।
• দুটি সংখ্যার গুণফল = তাদের গ.সা.গু × ল.সা.গু।
• ঘণ্টা একত্রে বাজার বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যা চাইলে সর্বদা ল.সা.গু করতে হয়।
• বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার কথা বললে সর্বদা গ.সা.গু করতে হয়।