অধ্যায় ৯: সরল ও দ্বিঘাত সমীকরণ, সহসমীকরণ এবং অসমতা | বিসিএস বীজগণিত
বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি, সহসমীকরণ এবং পরমমান অসমতা (Inequalities) থেকে প্রতি বছর অন্তত ২টি প্রশ্ন নিশ্চিত থাকে। বিশেষ করে পরমমান অসমতা ও দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সম্পর্ক বিসিএস গণিতের অন্যতম হট টপিক।
Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!১. দ্বিঘাত সমীকরণ ও মূলের প্রকৃতি (Quadratic Equations)
দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ:
ax^২ + bx + c = ০ (যেখানে a ≠ ০)
মূলদ্বয় নির্ণয়ের সর্বজনীন সূত্র:
-b ± √(b^২ - ৪ac)
x = ─────────────────
২a
নিশ্চায়ক বা পৃথায়ক (Discriminant):
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে রাশি D = b^২ – ৪ac এর ওপর। একে সমীকরণের নিশ্চায়ক বলে।
| নিশ্চায়কের মান (D = b^২ – ৪ac) | মূলের প্রকৃতি |
|---|---|
| D > ০ এবং পূর্ণবর্গ | মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ |
| D > ০ কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় | মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ |
| D = ০ | মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান (প্রতিটি মূল = -b / ২a) |
| D < ০ (ঋণাত্মক) | মূলদ্বয় অবাস্তব বা জটিল (কোনো বাস্তব মান নেই) |
মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফল:
যদি মূলদ্বয় α ও β হয়:
- মূলদ্বয়ের যোগফল: α + β = -b / a
- মূলদ্বয়ের গুণফল: α × β = c / a
- মূলদ্বয় দেওয়া থাকলে সমীকরণ: x^২ – (α + β)x + αβ = ০
—
২. সহসমীকরণ সমাধান কৌশল (Simultaneous Equations)
দুটি অজানা রাশি x ও y এর মান নির্ণয়ের সবচেয়ে দ্রুততম পদ্ধতি হলো অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method)।
বাস্তব উদাহরণ (৪৬তম বিসিএস প্রশ্ন):
প্রশ্ন: ৩x – y = ৩ এবং ৫x + y = ২১ হলে (x, y) এর মান কত? [৪৬তম বিসিএস]
অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান:
সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করি:
৩x - y = ৩
+ ৫x + y = ২১
────────────────
৮x = ২৪ => x = ২৪ / ৮ = ৩
x = ৩ সমীকরণ (১)-এ বসাই:
৩(৩) – y = ৩ => ৯ – y = ৩ => y = ৯ – ৩ = ৬।
✓ উত্তর: (x, y) = (৩, ৬)
৩. অসমতার মৌলিক নিয়মাবলি (Rules of Inequalities)
১. অসমতার উভয়পাশে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করলে অসমতার চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয় না।
২. অসমতার উভয়পাশে কোনো ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন অপরিবর্তিত থাকে।
৩. ⚠️ সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম: অসমতার উভয়পাশে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায় (< হয়ে যায় >, এবং > হয়ে যায় <)।
উদাহরণ:
-২x < ৬
=> উভয়পাশে -২ দিয়ে ভাগ করলে: x > (৬ / -২)
=> x > -৩
৪. পরমমান অসমতার সুপার শর্টকাট (Absolute Value)
পরমমান চিহ্নের ভেতরের মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।
যদি |x| < a হয়, তবে -a < x < a যদি |x| > a হয়, তবে x > a অথবা x < -a
জটিল পরমমানের সমাধান ফর্মুলা:
| ax + b | < c => -c < ax + b < c
(এরপর উভয়পাশ থেকে b বিয়োগ করে a দিয়ে ভাগ করতে হবে)
বিগত ১০ম থেকে ৫০তম বিসিএস-এর গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান
অঙ্ক ১: পরমমান অসমতা সমাধান
প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |৩x + ২| < ৭ অসমতাটির সমাধান কোনটি? [৪৪তম বিসিএস]
ধাপভিত্তিক সমাধান:
পরমমানের নিয়ম অনুযায়ী:
-৭ < ৩x + ২ < ৭
উভয়পাশ থেকে ২ বিয়োগ করি:
-৭ - ২ < ৩x < ৭ - ২
=> -৯ < ৩x < ৫
উভয়পাশকে ৩ দিয়ে ভাগ করি:
-৯/৩ < x < ৫/৩
=> -৩ < x < ৫/৩
✓ উত্তর: -৩ < x < ৫/৩
অঙ্ক ২: দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত
প্রশ্ন: k-এর মান কত হলে x^২ - kx + ৯ = ০ সমীকরণের মূলদ্বয় পরস্পর সমান হবে? [৩৭তম বিসিএস]
সমাধান:
মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত: নিশ্চায়ক D = ০
এখানে, a = ১, b = -k, c = ৯
D = b^২ - ৪ac = ০
=> (-k)^২ - ৪(১)(৯) = ০
=> k^২ - ৩৬ = ০
=> k^২ = ৩৬
=> k = ± ৬
✓ উত্তর: k = ± ৬
একনজরে কুইক রিভিশন সামারি
- D = b^২ - ৪ac = ০ হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়।
- α + β = -b/a এবং αβ = c/a।
- ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক পরিবর্তন হয়।
- |ax + b| < c হলে সরাসরি সমাধান: -c < ax + b < c।