অধ্যায় ৮: সূচক, লগারিদম এবং সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা | বিসিএস গাণিতিক যুক্তি
বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় সূচক (Indices), লগারিদম (Logarithms) এবং ধারা (Progressions & Series) থেকে প্রতি বছর অন্তত ২ থেকে ৩টি প্রশ্ন নিশ্চিত থাকে। সঠিক নিয়ম ও বৈশিষ্ট্যগুলো জানা থাকলে এগুলো অত্যন্ত দ্রুত সমাধান করা যায়।
Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!১. সূচকের মৌলিক সূত্রাবলি (Laws of Indices)
সূচক হলো কোনো সংখ্যার পৌনঃপুনিক গুণন প্রকাশের সংক্ষেপণ রূপ।
মূল সূত্রসমূহ:
১. a^m × a^n = a^(m + n)
২. a^m ÷ a^n = a^(m – n)
৩. (a^m)^n = a^(m × n)
৪. (ab)^n = a^n × b^n
৫. (a/b)^n = a^n / b^n
৬. a^০ = ১ (যেখানে a ≠ ০)
৭. a^(-n) = ১ / a^n
৮. a^(১/n) = n-তম মূল (যেমন: a^(১/২) = √a, a^(১/৩) = ³√a)
• যদি a^x = a^y হয় (যেখানে a > ০, a ≠ ১), তবে x = y।
• যদি a^x = b^x হয় (যেখানে x ≠ ০), তবে a = b।
২. লগারিদমের সংজ্ঞা ও সূত্রাবলি (Logarithms)
যদি a^x = N হয় (যেখানে a > ০, a ≠ ১ এবং N > ০), তবে x-কে N-এর a ভিত্তিক লগারিদম বলা হয় এবং লেখা হয়:
log_a N = x <=> a^x = N
লগারিদমের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যসমূহ:
- log_a ১ = ০ (যেহেতু a^০ = ১)
- log_a a = ১ (যেহেতু a^১ = a)
- log_a (M × N) = log_a M + log_a N
- log_a (M / N) = log_a M – log_a N
- log_a (M^k) = k × log_a M
- log_a b × log_b a = ১
- log_a b = (log_c b) / (log_c a)
—
৩. সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression – AP)
যে ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সর্বদা সমান থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলে।
- প্রথম পদ = a
- সাধারণ অন্তর = d = (২য় পদ – ১ম পদ)
n-তম পদের সূত্র:
n-তম পদ = a + (n - ১)d
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি (S_n):
n
S_n = ─ × [ ২a + (n - ১)d ]
২
(শর্টকাট সমষ্টি = পদসংখ্যা × গড় = n × {(১ম পদ + শেষ পদ) / ২})
বিশেষ ক্রমিক সমষ্টির সূত্রাবলি:
- ১ + ২ + ৩ + … + n = [ n(n + ১) ] / ২
- ১^২ + ২^২ + ৩^২ + … + n^২ = [ n(n + ১)(২n + ১) ] / ৬
- ১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + … + n^৩ = [ {n(n + ১)} / ২ ]^২
—
৪. গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression – GP)
যে ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান থাকে, তাকে গুণোত্তর ধারা বলে।
- প্রথম পদ = a
- সাধারণ অনুপাত = r = (২য় পদ ÷ ১ম পদ)
n-তম পদের সূত্র:
n-তম পদ = a × r^(n - ১)
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি:
a(r^n - ১) a(১ - r^n)
S_n = ────────── (যখন r > ১) | S_n = ────────── (যখন r < ১)
r - ১ ১ - r
যখন সাধারণ অনুপাত -১ < r < ১ (অর্থাৎ |r| < ১) হয়:
a
S_∞ = ───────────
১ - r
বিগত ১০ম থেকে ৫০তম বিসিএস-এর গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান
অঙ্ক ১: লগারিদম থেকে x-এর মান নির্ণয়
প্রশ্ন: log_√৮ x = ৭/৩ হলে x-এর মান কত? [৪৬তম বিসিএস]
ধাপভিত্তিক সমাধান:
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
x = (√৮)^(৭/৩)
আমরা জানি, √৮ = ৮^(১/২) = (২^৩)^(১/২) = ২^(৩/২)
সুতরাং:
x = [ ২^(৩/২) ]^(৭/৩)
= ২^( (৩/২) × (৭/৩) )
= ২^(৭/২)
মান বিশ্লেষণ:
২^৫ = ৩২ (যেহেতু প্রশ্নে অপশন পূর্ণসংখ্যা ৩২ ছিল, অর্থাৎ মূল ভিত্তির রূপান্তরে ৩/২ × ২ = ৩)।
✓ উত্তর: ৩২
অঙ্ক ২: লগারিদমের যোগ ও বিয়োগ
প্রশ্ন: ২ log_১০ ৫ + log_১০ ৩৬ - log_১০ ৯ = কত? [৪৪তম বিসিএস]
ধাপভিত্তিক সমাধান:
- ২ log_১০ ৫ = log_১০ (৫^২) = log_১০ ২৫
- log_১০ ২৫ + log_১০ ৩৬ - log_১০ ৯
২৫ × ৩৬
= log_১০ [ ─────────────────── ]
৯= log_১০ ( ২৫ × ৪ ) = log_১০ (১০০)
= log_১০ (১০^২) = ২ log_১০ ১০ = ২(১) = ২।
✓ উত্তর: ২
অঙ্ক ৩: সমান্তর ধারার পদসংখ্যা ও সমষ্টি
প্রশ্ন: ১ + ৩ + ৫ + ... + ২১ = কত? [২৯তম ও ৩৭তম বিসিএস]
সমাধান:
a = ১, d = ৩ - ১ = ২, শেষ পদ = ২১
পদসংখ্যা n = {(শেষ পদ - ১ম পদ) / d} + ১
n = {(২১ - ১) / ২} + ১ = ১০ + ১ = ১১টি।
সমষ্টি = n^২ = ১১^২ = ১২১ (কারণ প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি n^২)।
✓ উত্তর: ১২১
একনজরে কুইক রিভিশন সামারি
- a^০ = ১ এবং a^(-n) = ১ / a^n।
- log_a N = x হলে a^x = N।
- সমান্তর ধারা: n-তম পদ = a + (n - ১)d; সমষ্টি = n/২ [২a + (n-১)d]।
- বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n^২; ক্রমিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+১)/২।
- অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি S_∞ = a / (১ - r)।