অধ্যায় ১১: জ্যামিতি: রেখা, কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ ও পিথাগোরাস | বিসিএস জ্যামিতি
বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় জ্যামিতি (Geometry) পরিচ্ছেদ থেকে প্রতি বছর নিশ্চিতভাবে ২ থেকে ৩টি প্রশ্ন আসে। কোণ, ত্রিভুজ গঠনের শর্ত, পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য জ্যামিতির প্রধান আলোচনার বিষয়।
Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!১. রেখা ও কোণের মৌলিক বৈশিষ্ট্য
- সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle): ০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণ।
- সমকোণ (Right Angle): ঠিক ৯০° কোণ।
- স্থূলকোণ (Obtuse Angle): ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণ।
- সরলকোণ (Straight Angle): ঠিক ১৮০° কোণ (দুই সমকোণ)।
- প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle): ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণ।
পূরক কোণ ও সম্পূরক কোণ:
• পূরক কোণ (Complementary Angles): দুটি কোণের যোগফল ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। (যেমন: ৩০°-এর পূরক কোণ ৬০°)।
• সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles): দুটি কোণের যোগফল ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। (যেমন: ৭০°-এর সম্পূরক কোণ ১১০°)।
- বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles): দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- একান্তর ও অনুরূপ কোণ: দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে একান্তর কোণদ্বয় পরস্পর সমান এবং অনুরূপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
—
২. ত্রিভুজ ও ত্রিভুজের শর্তাবলি
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° বা দুই সমকোণ।
- ত্রিভুজের যেকোনো এক বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
⚠️ ত্রিভুজ গঠনের অবিচ্ছেদ্য শর্ত (বিসিএস প্রশ্ন):
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তার তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে (
a + b > c)।
যদি দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর সমান বা ছোট হয়, তবে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
৩. সমকোণী ত্রিভুজ ও পিথাগোরাসের উপপাদ্য
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ (Hypotenuse) বলে এবং এটিই ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
বিসিএস পরীক্ষার অতি পরিচিত পিথাগোরাস ট্রিপ্লেটস (মুখস্থ রাখুন):
১. (৩, ৪, ৫) এবং এর গুণিতক (৬, ৮, ১০), (৯, ১২, ১৫)
২. (৫, ১২, ১৩) এবং এর গুণিতক (১০, ২৪, ২৬)
৩. (৮, ১৫, ১৭)
৪. (৭, ২৪, ২৫)
৫. (৯, ৪০, ৪১)
৬. (১, ২√২, ৩) [৪৫তম বিসিএস]
বাস্তব উদাহরণ (৪৫তম বিসিএস প্রশ্ন):
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ১ : ২√২ : ৩ হলে এর বৃহত্তম কোণটি কত? [৪৫তম বিসিএস]
সমাধান:
বাহুগুলোর বর্গ করি:
- ১ম বাহুর বর্গ = ১^২ = ১
- ২য় বাহুর বর্গ = (২√২)^২ = ৪ × ২ = ৮
- ৩য় বাহুর বর্গ = ৩^২ = ৯
এখানে দেখা যাচ্ছে: ১ + ৮ = ৯, অর্থাৎ:
১^২ + (২√২)^২ = ৩^২ (পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে)।
যেহেতু এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, তাই এর বৃহত্তম কোণটি হবে ৯০° বা এক সমকোণ।
✓ উত্তর: ৯০°
৪. চতুর্ভুজ ও এর প্রকারভেদ
যেকোনো চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০° বা চার সমকোণ।
- সামান্তরিক (Parallelogram): বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল। বিপরীত কোণগুলো সমান। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে (কিন্তু সমকোণে নয়)।
- আয়তক্ষেত্র (Rectangle): যে সামান্তরিকের প্রতিটি কোণ সমকোণ (৯০°)। কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।
- রম্বস (Rhombus): যে সামান্তরিকের চারটি বাহুই সমান। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে (৯০°) সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- বর্গক্ষেত্র (Square): যে রম্বসের প্রতিটি কোণ সমকোণ (৯০°)। এর কর্ণদ্বয় সমান এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- ট্রাপিজিয়াম (Trapezium): যে চতুর্ভুজের কেবল এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
—
৫. বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি
n-সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের:
সকল অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (n - ২) × ১৮০° বা (২n - ৪) সমকোণ
(n - ২) × ১৮০°
সুষম বহুভুজের প্রতিটি কোণ = ────────────────
n
উদাহরণ: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ কত?
প্রতিটি কোণ = [(৫ – ২) × ১৮০°] / ৫ = (৩ × ১৮০°) / ৫ = ১০৮°।
বিগত ১০ম থেকে ৫০তম বিসিএস-এর গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান
অঙ্ক ১: ত্রিভুজের কোণ নির্ণয়
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত? [২৪তম ও ৩৮তম বিসিএস]
সমাধান:
অনুপাতের সমষ্টি = ২ + ৩ + ৫ = ১০
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
ক্ষুদ্রতম কোণ = ১৮০° × (২ / ১০) = ৩৬°।
✓ উত্তর: ৩৬°
অঙ্ক ২: সম্পূরক কোণ
প্রশ্ন: ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কত? [৩৪তম বিসিএস]
সমাধান:
সম্পূরক কোণদ্বয়ের যোগফল ১৮০°।
সুতরাং ৭০°-এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° – ৭০° = ১১০°।
✓ উত্তর: ১১০°
একনজরে কুইক রিভিশন সামারি
- পূরক কোণের যোগফল ৯০°; সম্পূরক কোণের যোগফল ১৮০°।
- ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
- সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- বহুভুজের কোণের সমষ্টি = (n – ২) × ১৮০°।