অধ্যায় ৫: অনুপাত, সমানুপাত ও অংশীদারি কারবার | বিসিএস ও চাকরির গাণিতিক যুক্তি

বিসিএস প্রিলিমিনারি ও সকল প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় অনুপাত, সমানুপাত, মিশ্রণ ও অংশীদারি কারবার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। বিগত ১০ম থেকে ৫০তম বিসিএস পরীক্ষায় এই টপিক থেকে নিয়মিত প্রশ্ন এসেছে।

১. অনুপাতের প্রকারভেদ ও ধারাবাহিক অনুপাতের ‘দ’ পদ্ধতি

অনুপাত হলো দুটি সমজাতীয় রাশির ভগ্নাংশ বা তুলনামূলক পরিমাপ।

ধারাবাহিক অনুপাত নির্ণয়ের ম্যাজিক ‘দ’ পদ্ধতি (Inverted-N Method):

যদি দেওয়া থাকে A : B = x : y এবং B : C = m : n
তাহলে A : B : C এক লাইনে বের করার নিয়ম:

A     :     B
      x           y
            ✕
      m           n
      B     :     C

A : B : C  =  (x × m) : (y × m) : (y × n)

বাস্তব উদাহরণ (৪০তম বিসিএস প্রশ্ন):

প্রশ্ন: পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত? [৪০তম বিসিএস]

‘দ’ পদ্ধতিতে ধারাবাহিক অনুপাত:

• পনির : তপন = ৪ : ৩
• তপন : রবিন = ৫ : ৪
• পনির : তপন : রবিন = (৪ × ৫) : (৩ × ৫) : (৩ × ৪) = ২০ : ১৫ : ১২

আয় নির্ণয়:

• পনিরের অনুপাত ২০ হলে রবিন = ১২
• পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে রবিনের আয়:

১২০ × ১২
রবিনের আয়  =  ────────  =  ৬ × ১২ = ৭২ টাকা।
             ২০

✓ উত্তর: রবিনের আয় ৭২ টাকা।

২. সমানুপাত ও চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয়

যদি চারটি রাশি a, b, c, d এমন হয় যে a : b = c : d, তবে তাদেরকে সমানুপাতী বলে।

১ম রাশি × ৪র্থ রাশি  =  ২য় রাশি × ৩য় রাশি

২য় রাশি × ৩য় রাশি
৪র্থ রাশি (d)  =  ─────────────────────
                       ১ম রাশি

মধ্য সমানুপাতী (Mean Proportional):

a ও c এর মধ্য সমানুপাতী b হলে:

b^২  =  a × c   =>   b  =  √(a × c)

উদাহরণ: ৯ এবং ১৬ এর মধ্য সমানুপাতী কত?
b = √(৯ × ১৬) = √(১৪৪) = ১২।

৩. মিশ্রণ সংক্রান্ত সমস্যা (Mixture Shortcuts)

প্রশ্ন: ৬০ লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত ২ : ১। কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ : ২ হবে? [৩৫তম বিসিএস]

ধাপভিত্তিক সমাধান:
১. অনুপাতের যোগফল = ২ + ১ = ৩

• আমের রস = ৬০ × (২/৩) = ৪০ লিটার
• কমলার রস = ৬০ × (১/৩) = ২০ লিটার

২. ধরি, x লিটার কমলা মেশাতে হবে:

৪০        ১
    ──────  =  ───
    ২০ + x      ২


=>  ২০ + x  =  ৪০ × ২ = ৮০
=>  x  =  ৮০ - ২০ = ৬০ লিটার।

✓ উত্তর: ৬০ লিটার কমলার রস মেশাতে হবে।

যখন অনুপাত a:b থেকে উল্টে b:a হয়, তখন:

মেশানোর পরিমাণ = (মোট পরিমাণ ÷ ছোট অনুপাত) × অনুপাতের ব্যবধান

= (৬০ ÷ ১) × (২ – ১) বা ৪০ × ১ = ৬০ লিটার।

৪. অংশীদারি কারবার (Partnership Business)

অংশীদারি কারবারে অর্জিত লাভ বা ক্ষতি অংশীদারদের মূলধন ও সময়ের গুণফলের অনুপাতে বণ্টিত হয়।

লভ্যাংশের অনুপাত = (১ম ব্যক্তির মূলধন × সময়) : (২য় ব্যক্তির মূলধন × সময়)

উদাহরণ: ক ও খ যথাক্রমে ১০,০০০ টাকা ও ১৫,০০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করল। বছর শেষে ৫,০০০ টাকা লাভ হলে ক কত টাকা পাবে?

• মূলধনের অনুপাত = ১০,০০০ : ১৫,০০০ = ২ : ৩
• অনুপাতের যোগফল = ২ + ৩ = ৫
• ক-এর লভ্যাংশ = ৫,০০০ × (২/৫) = ২,০০০ টাকা।

—

বিগত ১০ম থেকে ৫০তম বিসিএস-এর গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান

অঙ্ক ১: ভগ্নাংশের অনুপাত বণ্টন

প্রশ্ন: ২৬১টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে ১/৩ : ১/৫ : ১/৯ অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে? [৩৭তম বিসিএস]

ধাপভিত্তিক সমাধান:
১. হরগুলোর (৩, ৫, ৯) ল.সা.গু = ৪৫।
২. পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে রূপান্তর করি:

• ১ম ভাই = (১/৩) × ৪৫ = ১৫
• ২য় ভাই = (১/৫) × ৪৫ = ৯
• ৩য় ভাই = (১/৯) × ৪৫ = ৫

অনুপাত = ১৫ : ৯ : ৫
অনুপাতের যোগফল = ১৫ + ৯ + ৫ = ২৯

৩. প্রথম ভাইয়ের প্রাপ্ত আম:

২৬১ × ১৫
১ম ভাই  =  ────────  =  ৯ × ১৫ = ১৩৫টি।
             ২৯

✓ উত্তর: প্রথম ভাই ১৩৫টি আম পাবে।

অঙ্ক ২: অনুপাত ও গ.সা.গু থেকে সংখ্যা নির্ণয়

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে বৃহত্তর সংখ্যাটি কত? [৩৮তম বিসিএস]

সমাধান:

• ধরি সংখ্যা দুটি ২x এবং ৩x।
• এদের গ.সা.গু = x।
• দেওয়া আছে গ.সা.গু = ৪, সুতরাং x = ৪।
• অতএব বৃহত্তর সংখ্যাটি = ৩x = ৩ × ৪ = ১২।

✓ উত্তর: বৃহত্তর সংখ্যাটি ১২।

একনজরে কুইক রিভিশন সামারি

• ধারাবাহিক অনুপাত: A:B এবং B:C দেওয়া থাকলে উল্টো-N (দ) গুণ করুন।
• চতুর্থ সমানুপাতী = (২য় রাশি × ৩য় রাশি) ÷ ১ম রাশি।
• মধ্য সমানুপাতী = √(১ম রাশি × ৩য় রাশি)।
• অনুপাত ও গ.সা.গু দেওয়া থাকলে সংখ্যাগুলো = অনুপাত × গ.সা.গু।