স্পেশাল মানসিক দক্ষতা (পর্ব ২): সংখ্যা, বিভাজ্যতা, ভগ্নাংশ ও লজিক্যাল ধাঁধার শর্টকাট টেকনিক | বিসিএস মানসিক দক্ষতা
বিসিএস প্রিলিমিনারি ও বিভিন্ন নিয়োগ পরীক্ষার মানসিক দক্ষতায় সংখ্যাগত ক্ষমতা (Numerical Ability) ও যৌক্তিক সমস্যা সমাধানে পাটিগণিত এবং বেসিক সংখ্যার বাস্তব প্রয়োগ অপরিহার্য। এই পর্বে বিসিএস প্রিলিমিনারি ও চাকরির সিলেবাসভিত্তিক বাস্তব সংখ্যা, মৌলিক ও সহমৌলিক সংখ্যা, ভগ্নাংশের আর-গুণন (Cross Multiplication) তুলনা, ভাজক সংখ্যা বের করার ম্যাজিক নিয়ম, বিভাজ্যতার শর্টকাট, পূর্ণবর্গ তৈরি, আবৃত্ত দশমিক, ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর এবং বহুল আলোচিত লজিক্যাল ধাঁধাসমূহ উপরে-নিচে মান বসিয়ে বিস্তারিতভাবে ভেঙে ব্যাখ্যা করা হলো।
Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!—
১. বাস্তব সংখ্যা, মূলদ-অমূলদ ও মৌলিক সংখ্যার পরিচয়
ক. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা চেনার সহজ নিয়ম:
যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ অর্থাৎ p/q আকারে (যেখানে q ≠ 0) প্রকাশ করা যায়, সেগুলো **মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)**। আর যাদের প্রকাশ করা যায় না, তারা **অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)**।
- ২২/৭ বনাম π (পাই):
* ২২/৭ হলো মূলদ সংখ্যা (কারণ এটি সরাসরি p/q ভগ্নাংশ)।
* π = ৩.১৪১৫৯… হলো অমূলদ সংখ্যা (কারণ এটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক)। - বর্গমূলের ক্ষেত্রে:
* পূর্ণবর্গের বর্গমূল মূলদ: √(৪) = ২, √(৯) = ৩, √(১৬) = ৪
* অপূর্ণবর্গের বর্গমূল অমূলদ: √(২), √(৩), √(৫), √(৭) - আবৃত্ত বা পৌনঃপুনিক দশমিক:
* দশমিকে যদি সংখ্যার পুনরাবৃত্তি বা আবৃত্তি ঘটে (যেমন: ০.৩̇ = ১/৩), তবে তা সর্বদা মূলদ সংখ্যা।
খ. মৌলিক সংখ্যার গুরুত্বপূর্ণ তথ্য:
* ১ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এর গুণনীয়ক মাত্র ১টি।
* সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা: **২**।
* একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা: **২**।
* **১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা:** মোট **২৫টি** (এদের যোগফল = **১০৬০**)।
* **১০১ থেকে ২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা:** মোট **২১টি**।
* **১ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা:** ২৫ + ২১ = **৪৬টি**।
* **সহমৌলিক (Co-prime) সংখ্যা:** দুটি সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে (অর্থাৎ গ.সা.গু = ১ হলে) সংখ্যা দুটি পরস্পরের সহমৌলিক।
* যেমন: (৮, ৯) এর গ.সা.গু ১, তাই এরা সহমৌলিক।
* কিন্তু (১২, ২৭) এর গ.সা.গু ৩, তাই এরা সহমৌলিক নয়।
—
২. সংখ্যার অংশ ও ভগ্নাংশের সমস্যা (উপরে-নিচে মান বসিয়ে সমাধান)
প্রশ্ন ১: কোনো সংখ্যার ৭ এর ৩ অংশ ৪৮ এর সমান হলে সংখ্যাটি কত?
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
৩
x এর ───── = ৪৮
৭
৪৮ × ৭
=> x = ──────
৩
=> x = ১৬ × ৭
=> x = ১১২
প্রশ্ন ২: কোনো সংখ্যার ৭ এর ৪ অংশ ৪০ এর সমান হলে সংখ্যাটি কত?
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
৪
x এর ───── = ৪০
৭
৪০ × ৭
=> x = ──────
৪
=> x = ১০ × ৭
=> x = ৭০
প্রশ্ন ৩ (সম্পত্তির অংশ):
এক ব্যক্তি তার সম্পত্তির ২/৩ অংশ পুত্রকে এবং ১/৩ অংশ কন্যাকে দিলেন। কন্যা পুত্র অপেক্ষা ১ লক্ষ ৫০ হাজার টাকা কম পায়। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
ধরি, মোট সম্পত্তি = x টাকা প্রশ্নমতে, ২x x ──── - ──── = ১,৫০,০০০ ৩ ৩২x - x
──────── = ১,৫০,০০০
৩x
────── = ১,৫০,০০০
৩=> x = ১,৫০,০০০ × ৩
=> x = ৪,৫০,০০০ টাকা
প্রশ্ন ৪ (বাঁশের অংশ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয়):
একটি বাঁশের ২/৫ অংশ লাল, ১/৪ অংশ কালো এবং ১/৩ অংশ সবুজ। অবশিষ্ট ৬ মিটার হলুদ। সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য কত?
ধরি, সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = x মিটাররং করা মোট অংশ = (২/৫) + (১/৪) + (১/৩)
২৪ + ১৫ + ২০ ৫৯
= ─────────────── = ──── অংশ
৬০ ৬০৫৯ ৬০ - ৫৯ ১
অবশিষ্ট অংশ = ১ - ─── = ───────── = ──── অংশ
৬০ ৬০ ৬০প্রশ্নমতে,
১
──── অংশ = ৬ মিটার
৬০১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৬ × ৬০ = ৩৬০ মিটার।
প্রশ্ন ৫: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৫/২৮। একটি ভগ্নাংশ ৫/৭ হলে অপরটি কত?
৫ ১৫
ধরি, x × ─ = ────
৭ ২৮
১৫ × ৭
=> x = ──────
২৮ × ৫
৩
=> x = ─
৪
—
৩. ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম ভগ্নাংশ নির্ণয় (নোটের হুবহু আর-গুণন পদ্ধতি)
পরীক্ষায় ৪টি ভগ্নাংশের মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড় বা সবচেয়ে ছোট তা বের করতে ভগ্নাংশগুলোর কোণাকুণি গুণফল লবের উপরে লিখে সহজে তুলনা করা যায়।
উদাহরণ ১: ৫/৭, ৮/১৩, ৯/১১, ৭/৮ এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম?
ধাপ ১: ৫/৭ এবং ৮/১৩ এর তুলনা (কোণাকুণি গুণফল উপরে লিখি) ৬৫ ৫৬ ৫ ৮ ─── × ─── ৭ ১৩ (৫ × ১৩ = ৬৫) (৭ × ৮ = ৫৬) যেহেতু ৬৫ > ৫৬, তাই ৫/৭ বড়।ধাপ ২: ৭/৮ এবং ৯/১১ এর তুলনা
৭৭ ৭২
৭ ৯
─── × ───
৮ ১১
(৭ × ১১ = ৭৭) (৮ × ৯ = ৭২)
যেহেতু ৭৭ > ৭২, তাই ৭/৮ বড়।ধাপ ৩: বিজয়ী দুই ভগ্নাংশ ৫/৭ এবং ৭/৮ এর মধ্যে তুলনা:
৪০ ৪৯
৫ ৭
─── × ───
৭ ৮
(৫ × ৮ = ৪০) (৭ × ৭ = ৪৯)
যেহেতু ৪৯ > ৪০, তাই ৭/৮ হলো সবচেয়ে বড় (বৃহত্তম) ভগ্নাংশ!ক্ষুদ্রতম নির্ণয়: প্রথম দুই তুলনার ছোট দুই ভগ্নাংশ ৮/১৩ এবং ৯/১১ এর মধ্যে:
৮৮ ১১৭
৮ ৯
─── × ───
১৩ ১১
(৮ × ১১ = ৮৮) (১৩ × ৯ = ১১৭)
যেহেতু ৮৮ < ১১৭, তাই ৮/১৩ হলো সবচেয়ে ছোট (ক্ষুদ্রতম) ভগ্নাংশ!
- বৃহত্তম ভগ্নাংশ = ৭/৮
- ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ = ৮/১৩
---
উদাহরণ ২: ৭/১৩, ৩/১৯, ১৩/১৭, ৫/২৩ এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম?
ধাপ ১: ৭/১৩ এবং ৩/১৯ তুলনা ১৩৩ ৩৯ ৭ ৩ ─── × ─── ১৩ ১৯ (৭ × ১৯ = ১৩৩) (১৩ × ৩ = ৩৯) --> ৭/১৩ বড়।ধাপ ২: ১৩/১৭ এবং ৫/২৩ তুলনা
২৯৯ ৮৫
১৩ ৫
─── × ───
১৭ ২৩
(১৩ × ২৩ = ২৯৯) (১৭ × ৫ = ৮৫) --> ১৩/১৭ বড়।ধাপ ৩: ৭/১৩ এবং ১৩/১৭ এর মধ্যে তুলনা (বৃহত্তম বের করতে):
১১৯ ১৬৯
৭ ১৩
─── × ───
১৩ ১৭
(৭ × ১৭ = ১১৯) (১৩ × ১৩ = ১৬৯)
যেহেতু ১৬৯ > ১১৯, তাই ১৩/১৭ হলো বৃহত্তম ভগ্নাংশ!ক্ষুদ্রতম বের করতে: ৩/১৯ এবং ৫/২৩ এর মধ্যে তুলনা:
৬৯ ৯৫
৩ ৫
─── × ───
১৯ ২৩
(৩ × ২৩ = ৬৯) (১৯ × ৫ = ৯৫)
যেহেতু ৬৯ < ৯৫, তাই ৩/১৯ হলো ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ!
- বৃহত্তম ভগ্নাংশ = ১৩/১৭
- ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ = ৩/১৯
---
৪. ভাজক সংখ্যা ও বিভাজ্যতার শর্টকাট টেকনিক
ক. ভাজক সংখ্যা বের করার নিয়ম:
কোনো সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে ভাঙার পর উৎপাদকগুলোর ঘাত বা পাওয়ারের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলেই মোট ভাজক সংখ্যা পাওয়া যায়।
৭২ এর ভাজক সংখ্যা: ৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^৩ × ৩^২ ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (২ + ১) = ৪ × ৩ = ১২টি১২৮ এর ভাজক সংখ্যা:
১২৮ = ২^৭
ভাজক সংখ্যা = (৭ + ১) = ৮টি৯৬ এর ভাজক সংখ্যা:
৯৬ = ২^৫ × ৩^১
ভাজক সংখ্যা = (৫ + ১) × (১ + ১) = ৬ × ২ = ১২টি
---
খ. দুটি সংখ্যার মাঝে নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নির্ণয়:
বড় সংখ্যা - ছোট সংখ্যা
মোট বিভাজ্য সংখ্যা = ────────────────────────── + ১
নির্দিষ্ট সংখ্যা
- টাইপ ১ (উভয় প্রান্ত অন্তর্ভুক্ত):
* প্রশ্ন: ১৬ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?
১০০ - ১৬
= ──────── + ১ = (৮৪ / ৪) + ১ = ২১ + ১ = ২২টি
৪
- টাইপ ২ (মধ্যবর্তী সংখ্যা - প্রান্ত বাদে):
* প্রশ্ন: ১২ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?
*(১২ এর পরের প্রথম গুণিতক ১৬ এবং ১০০ এর আগের গুণিতক ৯৬)*
৯৬ - ১৬
= ─────── + ১ = (৮০ / ৪) + ১ = ২০ + ১ = ২১টি
৪
---
গ. দুটি সংখ্যা দ্বারা একসাথে বিভাজ্য (লসাগু পদ্ধতি):
* **প্রশ্ন:** ৫ থেকে ৯৫ পর্যন্ত ৩ ও ৫ উভয় দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?
৩ ও ৫ এর ল.সা.গু = ১৫ ৫ এর পর ১৫ এর প্রথম গুণিতক ১৫ এবং ৯৫ এর আগের গুণিতক ৯০।৯০ - ১৫
= ─────── + ১ = (৭৫ / ১৫) + ১ = ৫ + ১ = ৬টি
১৫
---
ঘ. একটি দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু অপরটি দ্বারা নয়:
* **প্রশ্ন ১:** ১ থেকে ১০০০ পর্যন্ত ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন সংখ্যা কতটি?
১. ৩০ দ্বারা বিভাজ্য: (৯৯০ - ৩০)/৩০ + ১ = ৩৩টি ২. ১৬ ও ৩০ এর লসাগু ২৪০ দ্বারা বিভাজ্য: (৯৬০ - ২৪০)/২৪০ + ১ = ৪টি ৩. ৩০ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ১৬ দ্বারা নয় = ৩৩ - ৪ = ২৯টি
- প্রশ্ন ২: ৫ থেকে ১৯৫ পর্যন্ত ৭ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন সংখ্যা কতটি?
১. ৭ দ্বারা বিভাজ্য: (১৮২ - ৭)/৭ + ১ = ২৬টি ২. ৭ ও ৩ এর লসাগু ২১ দ্বারা বিভাজ্য: (১৮৯ - ২১)/২১ + ১ = ৯টি ৩. ৭ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৩ দ্বারা নয় = ২৭ - ৯ = ১৮টি
---
ঙ. একটি অথবা অপরটি দ্বারা বিভাজ্য (Set Union Formula):
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
- প্রশ্ন: ৫ থেকে ১৯৫ পর্যন্ত ৫ অথবা ৭ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?
১. ৫ দ্বারা বিভাজ্য = (১৯৫ - ৫)/৫ + ১ = ৩৮ + ১ = ৩৯টি ২. ৭ দ্বারা বিভাজ্য = (১৮২ - ৭)/৭ + ১ = ২৬ + ১ = ২৭টি ৩. ৩৫ দ্বারা বিভাজ্য = (১৭৫ - ৩৫)/৩৫ + ১ = ৪ + ১ = ৫টিমোট সংখ্যা = ৩৯ + ২৭ - ৫ = ৬১টি
---
৫. পূর্ণবর্গ তৈরি, বর্গমূল ও আবৃত্ত দশমিক
ক. ন্যূনতম কত দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে পূর্ণবর্গ হবে?
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ হতে হলে তার প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত বা পাওয়ার অবশ্যই জোড় হতে হবে। বিজোড় পাওয়ার থাকলে তাকে জোড় করতে গুণ বা ভাগ করতে হয়।
- প্রশ্ন: (২৪)^৫ কে ন্যূনতম কত দ্বারা গুণ করলে পূর্ণবর্গ হবে?
(২৪)^৫ = (২^৩ × ৩)^৫ = ২^১৫ × ৩^৫এখানে:
২ এর পাওয়ার ১৫ (বিজোড়) -> ১টি ২ দরকার
৩ এর পাওয়ার ৫ (বিজোড়) -> ১টি ৩ দরকারসুতরাং গুণ করতে হবে = ২ × ৩ = ৬ দ্বারা।
খ. আবৃত্ত দশমিককে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর:
০.৩̇ = ৩/৯ = ১/৩১২৬ - ১ ১২৫ ২৫
০.১২৬̇ = ────────── = ─────── = ───────
৯৯০ ৯৯০ ১৯৮৫১২৫১ - ৫১ ৫১২০০ ৫১২০
৫.১২৫১̇ = ───────────── = ─────── = ──────
৯৯৯০ ৯৯৯০ ৯৯৯
- প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ০.১̇ ও ০.১ এর পার্থক্য ১.০ হলে সংখ্যাটি কত?
ধরি, সংখ্যাটি = x প্রশ্নমতে, x এর ০.১̇ - x এর ০.১ = ১x x
─── - ─── = ১
৯ ১০১০x - ৯x
──────── = ১
৯০x
── = ১
৯০=> x = ৯০
---
৬. ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ও লজিক্যাল ধাঁধাসমূহ
ক. ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া থাকলে:
বর্গের অন্তর + ১ ৪৭ + ১ ৪৮
বড় সংখ্যা = ────────────────── = ────────── = ──── = ২৪
২ ২ ২
বর্গের অন্তর - ১ ৪৭ - ১ ৪৬
ছোট সংখ্যা = ────────────────── = ────────── = ──── = ২৩
২ ২ ২
খ. বহুল আলোচিত লজিক্যাল ধাঁধাসমূহ:
- "Divide 30 by half and add 10. What do you get?"
৩০
= ────────── + ১০
(১/২)
৩০ × ২
= ────────── + ১০ = ৬০ + ১০ = ৭০
১
(উত্তর: ৭০)
- "A farmer had 17 hens, all but 9 died. How many hens are alive?"
'All but 9 died' অর্থ ৯টি ছাড়া বাকি সবগুলো মারা গেছে। সুতরাং জীবিত মুরগির সংখ্যা = ৯টি।
- ০, ১, ২, ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?
৩২১০ (চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা) - ১০২৩ (চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা - ০ দিয়ে শুরু করা যাবে না) ─────── ২১৮৭ (পার্থক্য)
- একটি সংখ্যাকে ৩৫ দ্বারা ভাগ করলে ১০ অবশিষ্ট থাকে। ঐ সংখ্যাকে ৭ দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?
প্রথম অবশিষ্ট ১০ কে নতুন ভাজক ৭ দিয়ে সরাসরি ভাগ করি: ১০ ÷ ৭ = ভাগফল ১, অবশিষ্ট ৩। (উত্তর: ৩)
---
📝 বিগত বিসিএস ও চাকরির মানসিক দক্ষতা প্রশ্নব্যাংক অনুশীলন (ব্যাখ্যাসহ)
22/7
0.3333...
√3
√9
২১টি, ৯৬০
২৫টি, ১০৬০
২৬টি, ১০৮০
২৮টি, ১১০০
৮টি
১০টি
১২টি
১৬টি
২১টি
২২টি
২৫টি
২৬টি
৫৬টি
৫৮টি
৬১টি
৬৫টি
২
৩
৬
১২
২৩
২৪
২৫
২৬
২৫
৪০
৭০
৮৫
৮টি
৯টি
১৭টি
০টি
১
২
৩
৪