Job PreparationNTRCA Preparation
অধ্যায় ১৫: বীজগণিত — সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা
সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা শিক্ষক নিবন্ধনের গণিত অংশের একটি অপরিহার্য অধ্যায়। পদ সংখ্যা ও সমষ্টি নির্ণয়ের ফর্মুলা ব্যবহার করে খুব সহজেই এগুলোর সমাধান করা যায়।
Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!
📌 সম্পূর্ণ NTRCA শিক্ষক ও প্রভাষক নিবন্ধন প্রস্তুতি সিরিজ সূচিপত্র:
১. ধারার প্রয়োজনীয় সকল সূত্রাবলী
> 📐 **সমান্তর ধারার সূত্র:** > > $$ n ext{-তম পদ} = a + (n – 1)d $$ > > $$ S_n = rac{n}{2}[2a + (n – 1)d] $$ > > 📐 **গুণোত্তর ধারার সূত্র:** > > $$ n ext{-তম পদ} = a r^{n-1} $$ > > $$ S_infty = rac{a}{1 – r} quad (|r| < 1) $$ > > 📐 **স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি:** > > $$ 1 + 2 + dots + n = rac{n(n+1)}{2} $$ > > $$ 1^2 + 2^2 + dots + n^2 = rac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ > > $$ 1^3 + 2^3 + dots + n^3 = left[ rac{n(n+1)}{2}ight]^2 $$২. শিক্ষক নিবন্ধন স্পেশাল প্র্যাকটিস MCQ
1. ১ + ৩ + ৫ + ৭ + …… ধারাটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?
(A) ৪০০
(B) ২০০
(C) ৪২০
(D) ৩৮০
✓ সঠিক উত্তর: (A) ৪০০
💡 ব্যাখ্যা: প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির শর্টকাট সূত্র = n²। এখানে n = ২০, অতএব সমষ্টি = ২০² = ৪০০।
2. ১ + ২ + ৩ + ৪ + …… + ৫০ = কত?
(A) ১,২৭৫
(B) ১,২৫০
(C) ১,৩০০
(D) ২,৫৫০
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১,২৭৫
💡 ব্যাখ্যা: স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: [frac: n(n + ১) / ২] = [frac: ৫০ \times ৫১ / ২] = ২৫ \times ৫১ = ১,২৭৫।
3. ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ + …… ধারাটির কোন পদ ৩০২?
(A) ১০০তম পদ
(B) ৯৯তম পদ
(C) ১০১তম পদ
(D) ৯৮তম পদ
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১০০তম পদ
💡 ব্যাখ্যা: প্রথম পদ a = ৫, সাধারণ অন্তর d = ৮ – ৫ = ৩। n-তম পদ = a + (n – ১)d ➔ ৩০২ = ৫ + (n – ১)৩ ➔ ২৯৭ = ৩(n – ১) ➔ n – ১ = ৯৯ ➔ n = ১০০।
4. ২ + ৪ + ৮ + ১৬ + …… ধারাটির ১০ম পদ কত?
(A) ১,০২৪
(B) ৫১২
(C) ২,০৪৮
(D) ২৫৬
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১,০২৪
💡 ব্যাখ্যা: এটি গুণোত্তর ধারা। প্রথম পদ a = ২, সাধারণ অনুপাত r = [frac: ৪ / ২] = ২। n-তম পদ = arⁿ⁻¹ ➔ ১০ম পদ = ২ \times ২¹⁰⁻¹ = ২ \times ২⁹ = ২¹⁰ = ১,০২৪।
5. ১² + ২² + ৩² + …… + ১০² এর সমষ্টি কত?
(A) ৩৮৫
(B) ৩০০
(C) ৫৫০
(D) ৪২০
✓ সঠিক উত্তর: (A) ৩৮৫
💡 ব্যাখ্যা: বর্গের সমষ্টি সূত্র: [frac: n(n + ১)(২n + ১) / ৬] = [frac: ১০ \times ১১ \times ২১ / ৬] = ৫ \times ১১ \times ৭ = ৩৮৫।
6. ১³ + ২³ + ৩³ + …… + ১০³ এর মান কত?
(A) ৩,০২৫
(B) ২,০২৫
(C) ৩,১২৫
(D) ১,২৭৫
✓ সঠিক উত্তর: (A) ৩,০২৫
💡 ব্যাখ্যা: ঘনের সমষ্টি সূত্র: [frac: n(n + ১) / ২]² = ([frac: ১০ \times ১১ / ২])² = ৫৫² = ৩,০২৫।
7. একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ ৩ এবং সাধারণ অন্তর ৪ হলে ১২তম পদটি কত?
(A) ৪৭
(B) ৪৮
(C) ৪৬
(D) ৫০
✓ সঠিক উত্তর: (A) ৪৭
💡 ব্যাখ্যা: n-তম পদ = a + (n – ১)d = ৩ + (১২ – ১) \times ৪ = ৩ + ১১ \times ৪ = ৩ + ৪৪ = ৪৭।
8. ১ – [frac: ১ / ২] + [frac: ১ / ৪] – [frac: ১ / ৮] + …… অসীম ধারাটির সমষ্টি কত?
(A) [frac: ২ / ৩]
(B) [frac: ১ / ৩]
(C) [frac: ৩ / ৪]
(D) ১
✓ সঠিক উত্তর: (A) [frac: ২ / ৩]
💡 ব্যাখ্যা: অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি S = [frac: a / ১ – r]। এখানে a = ১, r = -[frac: ১ / ২]। অতএব S = [frac: ১ / ১ – (-[frac: ১ / ২])] = [frac: ১ / [frac: ৩ / ২]] = [frac: ২ / ৩]।
9. ৪ + ৭ + ১০ + ১৩ + …… ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি কত?
(A) ১,০০০
(B) ৯৫০
(C) ১,০৫০
(D) ১,১০০
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১,০০০
💡 ব্যাখ্যা: সমষ্টি S = [frac: n / ২][২a + (n – ১)d] = [frac: ২৫ / ২][২(৪) + (২৪ \times ৩)] = [frac: ২৫ / ২][৮ + ৭২] = [frac: ২৫ / ২][৮০] = ২৫ \times ৪০ = ১,০০০।
10. কোনো সমান্তর ধারার m-তম পদ n এবং n-তম পদ m হলে (m+n)-তম পদ কত?
(A) ০
(B) ১
(C) m + n
(D) -1
✓ সঠিক উত্তর: (A) ০
💡 ব্যাখ্যা: এটি একটি প্রমাণিক শর্টকাট। সমান্তর ধারার m-তম পদ n এবং n-তম পদ m হলে (m+n)-তম পদের মান সর্বদা ০ হয়।