Job PreparationPolice SI & Sergeant Preparation
অধ্যায় ১২: সাধারণ গণিত (লিখিত পরীক্ষা) — বীজগণিত, সমীকরণ ও জ্যামিতি উপপাদ্য প্রয়োগ
পুলিশ এসআই লিখিত গণিত অংশে বীজগণিতীয় সমীকরণ ও জ্যামিতিক ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত প্রশ্ন থাকে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং বৃত্ত-রম্বসের ক্ষেত্রফলের ধাপভিত্তিক লিখিত উপস্থাপনা নিচে দেওয়া হলো।
Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!
👮♂️ সম্পূর্ণ পুলিশ সাব-ইন্সপেক্টর (SI) ও সার্জেন্ট প্রস্তুতি সিরিজ সূচিপত্র:
১. লিখিত জ্যামিতির মৌলিক ক্ষেত্রফল সূত্র চার্ট
লিখিত অংকে সরাসরি সূত্রের উল্লেখ করে হিসাব করুন:
| জ্যামিতিক আকৃতি | ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র | পরিসীমা |
|---|---|---|
| আয়তক্ষেত্র | দৈর্ঘ্য × প্রস্থ | ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) |
| বর্গক্ষেত্র | বাহু² | ৪ × বাহু |
| ত্রিভুজ (সাধারণ) | [frac: ১ / ২] × ভূমি × উচ্চতা | তিন বাহুর যোগফল |
| সমকোণী ত্রিভুজ | [frac: ১ / ২] × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল | অতিভুজ = √(লম্ব² + ভূমি²) |
| রম্বস | [frac: ১ / ২] × d₁ × d₂ (কর্ণদ্বয়ের গুণফল) | ৪ × বাহু |
| বৃত্ত | πr² ([frac: ২২ / ৭] × ব্যাসার্ধ²) | পরিধি = ২πr |
২. বিগত লিখিত পরীক্ষার গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নব্যাংক
1. [লিখিত বীজগণিত] যদি x + [frac: ১ / x] = ৪ হয়, তবে x⁴ + [frac: ১ / x⁴] এর মান কত?
(A) ১৯৪
(B) ১৯৬
(C) ১৪২
(D) ১৮০
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১৯৪
💡 ব্যাখ্যা: লিখিত সমাধান:
x² + [frac: ১ / x²] = (x + [frac: ১ / x])² – ২(x)([frac: ১ / x]) = ৪² – ২ = ১৬ – ২ = ১৪।
আবার উভয়পক্ষকে বর্গ করে,
(x² + [frac: ১ / x²])² = ১৪² ➔ x⁴ + [frac: ১ / x⁴] + ২ = ১৯৬ ➔ x⁴ + [frac: ১ / x⁴] = ১৯৬ – ২ = ১৯৪।
x² + [frac: ১ / x²] = (x + [frac: ১ / x])² – ২(x)([frac: ১ / x]) = ৪² – ২ = ১৬ – ২ = ১৪।
আবার উভয়পক্ষকে বর্গ করে,
(x² + [frac: ১ / x²])² = ১৪² ➔ x⁴ + [frac: ১ / x⁴] + ২ = ১৯৬ ➔ x⁴ + [frac: ১ / x⁴] = ১৯৬ – ২ = ১৯৪।
2. [লিখিত বীজগণিত] যদি a + b = ৭ এবং ab = ১০ হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?
(A) ১৩৩
(B) ১২৫
(C) ১৪৩
(D) ১১৫
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১৩৩
💡 ব্যাখ্যা: সূত্র: a³ + b³ = (a + b)³ – ৩ab(a + b) = ৭³ – ৩(১০)(৭) = ৩৪৩ – ২১০ = ১৩৩।
3. [লিখিত বীজগণিত] উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x² – ৫x – ৬
(A) (x – ৬)(x + ১)
(B) (x – ৩)(x – ২)
(C) (x + ৬)(x – ১)
(D) (x + ৩)(x + ২)
✓ সঠিক উত্তর: (A) (x – ৬)(x + ১)
💡 ব্যাখ্যা: মিডল টার্ম: x² – ৬x + x – ৬ = x(x – ৬) + ১(x – ৬) = (x – ৬)(x + ১)।
4. [লিখিত জ্যামিতি] একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ মিটার এবং ভূমি ২৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
(A) ৮৪ বর্গমিটার
(B) ১৬৮ বর্গমিটার
(C) ৭২ বর্গমিটার
(D) ৯৬ বর্গমিটার
✓ সঠিক উত্তর: (A) ৮৪ বর্গমিটার
💡 ব্যাখ্যা: পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
লম্ব = √(অতিভুজ² – ভূমি²) = √(২৫² – ২৪²) = √(৬২৫ – ৫৭৬) = √৪৯ = ৭ মিটার।
ক্ষেত্রফল = [frac: ১ / ২] × ভূমি × উচ্চতা = [frac: ১ / ২] × ২৪ × ৭ = ১২ × ৭ = ৮৪ বর্গমিটার।
লম্ব = √(অতিভুজ² – ভূমি²) = √(২৫² – ২৪²) = √(৬২৫ – ৫৭৬) = √৪৯ = ৭ মিটার।
ক্ষেত্রফল = [frac: ১ / ২] × ভূমি × উচ্চতা = [frac: ১ / ২] × ২৪ × ৭ = ১২ × ৭ = ৮৪ বর্গমিটার।
5. [লিখিত জ্যামিতি] একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। ক্ষেত্রফল ৮০০ বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
(A) ১২০ মিটার
(B) ৬০ মিটার
(C) ১০০ মিটার
(D) ১৪০ মিটার
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১২০ মিটার
💡 ব্যাখ্যা: ধরি প্রস্থ x মিটার, দৈর্ঘ্য ২x মিটার।
ক্ষেত্রফল = ২x × x = ২x² = ৮০০ ➔ x² = ৪০০ ➔ x = ২০ মিটার।
দৈর্ঘ্য = ২ × ২০ = ৪০ মিটার।
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৪০ + ২০) = ২(৬০) = ১২০ মিটার।
ক্ষেত্রফল = ২x × x = ২x² = ৮০০ ➔ x² = ৪০০ ➔ x = ২০ মিটার।
দৈর্ঘ্য = ২ × ২০ = ৪০ মিটার।
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৪০ + ২০) = ২(৬০) = ১২০ মিটার।
6. [লিখিত বীজগণিত] সমাধান করুন: ২x + ৩y = ১২ এবং x – y = ১। x ও y এর মান কত?
(A) x = ৩, y = ২
(B) x = ৪, y = ৩
(C) x = ৫, y = ৪
(D) x = ২, y = ১
✓ সঠিক উত্তর: (A) x = ৩, y = ২
💡 ব্যাখ্যা: ২য় সমীকরণ হতে x = y + ১। ১ম সমীকরণে মান বসিয়ে: ২(y + ১) + ৩y = ১২ ➔ ৫y + ২ = ১২ ➔ ৫y = ১০ ➔ y = ২।
অতএব x = ২ + ১ = ৩।
অতএব x = ২ + ১ = ৩।
7. [লিখিত জ্যামিতি] একটি বৃত্তের পরিধি ৪৪ সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
(A) ১৫৪ বর্গ সেমি
(B) ১৪৪ বর্গ সেমি
(C) ১৬৮ বর্গ সেমি
(D) ১৩০ বর্গ সেমি
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১৫৪ বর্গ সেমি
💡 ব্যাখ্যা: পরিধি ২πr = ৪৪ ➔ ২ × [frac: ২২ / ৭] × r = ৪৪ ➔ [frac: ৪৪ / ৭] r = ৪৪ ➔ r = ৭ সেমি।
ক্ষেত্রফল A = πr² = [frac: ২২ / ৭] × ৭² = ২২ × ৭ = ১৫৪ বর্গ সেমি।
ক্ষেত্রফল A = πr² = [frac: ২২ / ৭] × ৭² = ২২ × ৭ = ১৫৪ বর্গ সেমি।
8. [লিখিত বীজগণিত] যদি x – [frac: ১ / x] = ৩ হয়, তবে x² + [frac: ১ / x²] এর মান কত?
(A) ১১
(B) ৯
(C) ৭
(D) ১৩
✓ সঠিক উত্তর: (A) ১১
💡 ব্যাখ্যা: x² + [frac: ১ / x²] = (x – [frac: ১ / x])² + ২ = ৩² + ২ = ৯ + ২ = ১১।
9. [লিখিত জ্যামিতি] সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
(A) ভূমি × উচ্চতা
(B) [frac: ১ / ২] × ভূমি × উচ্চতা
(C) দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
(D) বাহু²
✓ সঠিক উত্তর: (A) ভূমি × উচ্চতা
💡 ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা (Base × Height)।
10. [লিখিত জ্যামিতি] একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সেমি ও ৬ সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত?
(A) ২৪ বর্গ সেমি
(B) ৪৮ বর্গ সেমি
(C) ১২ বর্গ সেমি
(D) ৩৬ বর্গ সেমি
✓ সঠিক উত্তর: (A) ২৪ বর্গ সেমি
💡 ব্যাখ্যা: রম্বসের ক্ষেত্রফল = [frac: ১ / ২] × কর্ণদ্বয়ের গুণফল = [frac: ১ / ২] × ৮ × ৬ = ২৪ বর্গ সেমি।