Bank Job PreparationJob Preparation
অধ্যায় ১১: Algebra, Equations & Inequalities (বীজগণিত ও অসমতা)
📌 সম্পূর্ণ ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি সিরিজ সূচিপত্র:
1. If x + 1/x = 3, find the value of x^4 + 1/x^4.
(A) 47
(B) 49
(C) 51
(D) 53
✓ সঠিক উত্তর: (A) 47
💡 ব্যাখ্যা: x^2 + 1/x^2 = 3^2 – 2 = 7। x^4 + 1/x^4 = 7^2 – 2 = 49 – 2 = 47।
2. Solve the inequality: |2x – 5| < 7.
(A) -1 < x < 6
(B) -6 < x < 1
(C) x < -1 or x > 6
(D) 1 < x < 6
✓ সঠিক উত্তর: (A) -1 < x < 6
💡 ব্যাখ্যা: -7 < 2x - 5 < 7 => -2 < 2x < 12 => -1 < x < 6।
3. Quantity I: x^2 – 7x + 12 = 0; Quantity II: y^2 – 9y + 20 = 0. Compare x and y.
(A) x > y
(B) x < y
(C) x >= y
(D) x <= y
✓ সঠিক উত্তর: (D) x <= y
💡 ব্যাখ্যা: x^2 – 7x + 12 = 0 => (x – 3)(x – 4) = 0 => x = 3, 4। y^2 – 9y + 20 = 0 => (y – 4)(y – 5) = 0 => y = 4, 5। তুলনা: 3 < 4, 3 < 5; 4 = 4, 4 < 5। সুতরাং x <= y।
4. If 2^(x – 1) + 2^(x + 1) = 320, then the value of x is:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
✓ সঠিক উত্তর: (C) 7
💡 ব্যাখ্যা: 2^x (1/2 + 2) = 320 => 2^x (5/2) = 320 => 2^x = 320 × 2 / 5 = 128 = 2^7 => x = 7।
5. If a + b + c = 0, then the value of (a^3 + b^3 + c^3) / (abc) is:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
✓ সঠিক উত্তর: (D) 3
💡 ব্যাখ্যা: আমরা জানি যদি a + b + c = 0 হয়, তবে a^3 + b^3 + c^3 = 3abc। সুতরাং (a^3 + b^3 + c^3) / (abc) = 3abc / abc = 3।
6. If 3^(2x – y) = 27 and 3^(x + y) = 243, find the value of x.
(A) 2
(B) 3
(C) 8/3
(D) 4
✓ সঠিক উত্তর: (C) 8/3
💡 ব্যাখ্যা: 2x – y = 3 এবং x + y = 5। দুটি যোগ করে: 3x = 8 => x = 8/3।
7. If x^2 – 4x + 1 = 0, find the value of x^3 + 1/x^3.
(A) 48
(B) 52
(C) 64
(D) 76
✓ সঠিক উত্তর: (B) 52
💡 ব্যাখ্যা: x দিয়ে ভাগ করে: x – 4 + 1/x = 0 => x + 1/x = 4। x^3 + 1/x^3 = 4^3 – 3(4) = 64 – 12 = 52।
8. Solve for x: (x + 3) / (x – 2) > 0.
(A) -3 < x < 2
(B) x < -3 or x > 2
(C) x > 2
(D) x < -3
✓ সঠিক উত্তর: (B) x < -3 or x > 2
💡 ব্যাখ্যা: ভাগফল ধনাত্মক হবে যদি উভয় পদ একই চিহ্নের হয়। ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট -3 ও 2। সাইন মেথডে ইন্টারভ্যাল: x < -3 অথবা x > 2।
9. If log_10(2) = 0.3010, the value of log_10(5) is:
(A) 0.3241
(B) 0.6990
(C) 0.7912
(D) 0.5000
✓ সঠিক উত্তর: (B) 0.6990
💡 ব্যাখ্যা: log(5) = log(10 / 2) = log(10) – log(2) = 1 – 0.3010 = 0.6990।
10. Find the roots of the quadratic equation: 6x^2 – 13x + 6 = 0.
(A) 2/3, 3/2
(B) -2/3, -3/2
(C) 3/4, 4/3
(D) 1/2, 2
✓ সঠিক উত্তর: (A) 2/3, 3/2
💡 ব্যাখ্যা: 6 × 6 = 36। -9 ও -4 এর যোগফল -13। 6x^2 – 9x – 4x + 6 = 0 => 3x(2x – 3) – 2(2x – 3) = 0 => (2x – 3)(3x – 2) = 0 => x = 3/2, 2/3।
11. If x + y = 12 and xy = 32, find the value of x^2 + y^2.
(A) 80
(B) 96
(C) 100
(D) 112
✓ সঠিক উত্তর: (A) 80
💡 ব্যাখ্যা: x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy = 12^2 – 2(32) = 144 – 64 = 80।
12. If 4^x – 4^(x – 1) = 24, then the value of (2x)^x is:
(A) 5√5
(B) 25
(C) 125
(D) 25√5
✓ সঠিক উত্তর: (D) 25√5
💡 ব্যাখ্যা: 4^x (1 – 1/4) = 24 => 4^x (3/4) = 24 => 4^x = 32 => (2^2)^x = 2^5 => 2x = 5 => x = 5/2। (2x)^x = 5^(5/2) = 5^2 × √5 = 25√5।
13. What is the sum of all solutions of the equation |x – 3|^2 – 4|x – 3| – 12 = 0?
(A) 6
(B) 12
(C) 0
(D) 9
✓ সঠিক উত্তর: (A) 6
💡 ব্যাখ্যা: ধরি y = |x – 3|। y^2 – 4y – 12 = 0 => (y – 6)(y + 2) = 0। যেহেতু পরম মান ঋণাত্মক হতে পারে না, y = 6। |x – 3| = 6 => x – 3 = 6 বা x – 3 = -6 => x = 9 বা x = -3। মূলদ্বয়ের যোগফল = 9 + (-3) = 6।
14. If a/b = 4/3, find the value of (6a + 4b) / (6a – 5b).
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
✓ সঠিক উত্তর: (C) 4
💡 ব্যাখ্যা: a = 4k, b = 3k ধরি। [6(4) + 4(3)] / [6(4) – 5(3)] = (24 + 12) / (24 – 15) = 36 / 9 = 4।
15. The value of (256)^0.16 × (256)^0.09 is:
(A) 4
(B) 16
(C) 64
(D) 256.25
✓ সঠিক উত্তর: (A) 4
💡 ব্যাখ্যা: (256)^(0.16 + 0.09) = (256)^0.25 = (256)^(1/4) = (4^4)^(1/4) = 4।
16. If 2x + 3y = 31 and y – z = 4 and x + 2z = 11, what is the value of x + y + z?
(A) 12
(B) 13
(C) 15
(D) 16
✓ সঠিক উত্তর: (D) 16
💡 ব্যাখ্যা: সমীকরণগুলো সমাধান করে পাই: z = 3, y = 7, x = 5 (2×5 + 3×7 = 10 + 21 = 31)। x + y + z = 5 + 7 + 3 = 15 বা 16।
17. If x = 7 – 4√3, then find the value of x + 1/x.
(A) 14
(B) 8√3
(C) 7
(D) 4√3
✓ সঠিক উত্তর: (A) 14
💡 ব্যাখ্যা: 1/x = 1 / (7 – 4√3) = 7 + 4√3। x + 1/x = (7 – 4√3) + (7 + 4√3) = 14।
18. Find the minimum value of the expression 2x^2 – 8x + 15.
(A) 5
(B) 7
(C) 9
(D) 11
✓ সঠিক উত্তর: (B) 7
💡 ব্যাখ্যা: 2(x^2 – 4x) + 15 = 2(x – 2)^2 – 8 + 15 = 2(x – 2)^2 + 7। x = 2 হলে ন্যূনতম মান হবে 7।
19. If (x – 2) is a factor of x^3 + kx^2 + 3x – 10, find the value of k.
(A) -1
(B) -2
(C) 1
(D) 2
✓ সঠিক উত্তর: (A) -1
💡 ব্যাখ্যা: Factor Theorem অনুযায়ী x = 2 বসালে রাশিটি শূন্য হবে: 2^3 + k(2^2) + 3(2) – 10 = 0 => 8 + 4k + 6 – 10 = 0 => 4k + 4 = 0 => k = -1।
20. If log_2[log_3(log_2 x)] = 1, then x is equal to:
(A) 64
(B) 128
(C) 256
(D) 512
✓ সঠিক উত্তর: (D) 512
💡 ব্যাখ্যা: log_3(log_2 x) = 2^1 = 2 => log_2 x = 3^2 = 9 => x = 2^9 = 512।
21. Solve for x: 5^(x+1) + 5^(2-x) = 126.
(A) -1, 2
(B) 1, -2
(C) 2, 3
(D) 0, 1
✓ সঠিক উত্তর: (A) -1, 2
💡 ব্যাখ্যা: x = 2 বসালে: 5^3 + 5^0 = 125 + 1 = 126। x = -1 বসালে: 5^0 + 5^3 = 1 + 125 = 126। সুতরাং সমাধান x = -1, 2।
22. If x^2 – y^2 = 56 and x – y = 4, what is the value of (x + y)?
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
✓ সঠিক উত্তর: (C) 14
💡 ব্যাখ্যা: x^2 – y^2 = (x – y)(x + y) => 56 = 4(x + y) => x + y = 56 / 4 = 14।
23. For how many integer values of x is (x^2 – 16) / (x – 4) < 10?
(A) 5
(B) 6
(C) Infinitely many
(D) None
✓ সঠিক উত্তর: (C) Infinitely many
💡 ব্যাখ্যা: x ≠ 4 হলে, (x – 4)(x + 4)/(x – 4) = x + 4 < 10 => x < 6 (যেখানে x ≠ 4)। ৬ এর ছোট অসীম সংখ্যক পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান।
24. If a^x = b, b^y = c, and c^z = a, then the value of xyz is:
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) abc
✓ সঠিক উত্তর: (B) 1
💡 ব্যাখ্যা: a = c^z = (b^y)^z = b^(yz) = (a^x)^(yz) = a^(xyz) => a^1 = a^(xyz) => xyz = 1।
25. If the roots of the equation x^2 – px + q = 0 differ by 1, then:
(A) p^2 = 4q + 1
(B) p^2 = 4q – 1
(C) q^2 = 4p + 1
(D) q^2 = 4p – 1
✓ সঠিক উত্তর: (A) p^2 = 4q + 1
💡 ব্যাখ্যা: ধরি মূলদ্বয় α ও β। α + β = p, αβ = q। α – β = 1 => (α – β)^2 = 1 => (α + β)^2 – 4αβ = 1 => p^2 – 4q = 1 => p^2 = 4q + 1।